\chapter[Métodos de Desplazamientos para pórticos]{Métodos de Desplazamientos para pórticos}
% intro e hipotesis
En esta Unidad Temática se presentan métodos de análisis de estructuras planas de barras en base a desplazamientos como incógnita principal. %
En esta Unidad Temática se presentan métodos de análisis de estructuras planas formadas por barras en base a desplazamientos como incógnita principal. %
%
Este tema es presentado en los libros con dos grandes enfoques, por una parte un enfoque más clásico o analítico, basado en principios de superposición y razonamientos conceptuales como se puede ver en \citep{Timoshenko1940a} o \citep{CerveraRuiz2002ii}, por otra parte, un enfoque más orientado a métodos numéricos para análisis estructural en general como se ve en \citep{Onate2013}, \citep{Pilkey2002,Wunderlich2002}. %
Este tema es presentado en los libros con dos grandes enfoques: por una parte un enfoque más clásico o analítico, basado en principios de superposición y razonamientos conceptuales, como se puede ver en \citep{Timoshenko1940a,CerveraRuiz2002ii}, y por otra parte, un enfoque más orientado a métodos numéricos para análisis estructural general, como se ve en \citep{Onate2013,Pilkey2002,Wunderlich2002}. %
%
Para maximizar la uniformidad de criterios en los temas abordados en el curso para el análisis de distintas estructuras, se opta por el segundo enfoque. %
En la Sección~\ref{sec:analiMatPort}donde las ecuaciones son derivadas utilizando los principios energéticos ya vistos en la Unidad Temática 2 y de forma similar a como es realizado en \citep{Reddy2002b}. %
En la Sección~\ref{sec:analiMatPort} las ecuaciones son derivadas utilizando los principios energéticos ya vistos en la Unidad Temática 2 y de forma similar a como es realizado en \citep{Reddy2002b}. %
%
Luego, en la Sección~\ref{sec:metSDPort}, las ecuaciones del método del clásico \textit{Slope-Deflection} (o Método de Equilibrio en \citep{CerveraRuiz2002ii}) son presentadas, como un caso particular del desarrollo general, en el cual se asume que la energía de deformación axial es despreciable respecto a la de flexión. %
%
Se invita a la o el lector a leer los materiales complementarios para entender las diferencias de enfoque y también ver las similitudes en las ecuaciones obtenidas.
Se invita al estudiante a leer los materiales complementarios para entender las diferencias de enfoque y ver también las similitudes en las ecuaciones obtenidas.
% ----------------------------
...
...
@@ -30,14 +31,14 @@ Se utiliza un enfoque usualmente utilizado tanto en libros de resistencia de mat
Para el análisis de pórticos es necesario abordar el estudio de vigas sometidas a cargas transversales y axiales, esto será llamado \textit{flexión compuesta}. %
%
Para esto, un posible camino es agregar el efecto de la directa a las ecuaciones de la teoría de vigas a flexión pura, presentadas en la sección\ref{sec:teovigastimo}. %
Para esto, un posible camino es agregar el efecto de la directa a las ecuaciones de la teoría de vigas a flexión pura, presentadas en la Sección~\ref{sec:teovigastimo}. %
%
Sin embargo se optará por otro camino orientado a deducir las ecuaciones a partir de algunas hipótesis de la teoría de vigas integradas con la Teoría de la Elasticidad. %
Sin embargo se optará por otro camino orientado a deducir las ecuaciones a partir de algunas hipótesis de la Teoría de Vigas integradas con la Teoría de la Elasticidad. %
%
Este enfoque es utilizado en literatura de referencia \citep{Wunderlich2002,Onate2013} y permite llegar a los mismos resultados.
\subsubsection{Hipótesis}
Sea el campo de desplazamientos de los puntos de la viga, dados por el vector formado por las funciones: $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$ y $w(x,y,z)$, representando desplazamientos en $x$, $y$ y $z$ respectivamente. %
Se considera un sólido con una geometría como la mostrada en la Figura~\ref{fig:viga3d}, es decir una viga. Se considera que el campo de desplazamientos de los puntos de la viga, están dados por el vector formado por las funciones: $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$ y $w(x,y,z)$, representando desplazamientos en $x$, $y$ y $z$ respectivamente. %
%
Asumiendo que la flexión se produce en el plano $x-y$, se consideran las siguientes hipótesis:
%
...
...
@@ -46,9 +47,11 @@ Asumiendo que la flexión se produce en el plano $x-y$, se consideran las siguie
$$
v(x,y,z)= v(x).
$$
%
\item Las secciones transversales permanecen planas y perpendiculares al eje deformado durante la deformación y los giros $\theta$ son pequeños. %
%
Los desplazamientos axiales por tanto están dados por:
%
Los desplazamientos axiales están, por lo tanto, dados por:
\begin{equation}\label{eqn:despaxi}
u(x,y,z) = u_G(x) - y \theta(x),
\end{equation}
...
...
@@ -65,7 +68,7 @@ $$
Respecto a la hipótesis de desplazamientos perpendiculares al plano, esta hipótesis representa una simplificación del comportamiento real de la estructura y el efecto de Poisson, sin embargo simplifica la aplicación de la ecuación constitutiva y el cálculo del tensor de deformaciones y permite llegar a las ecuaciones de la teoría de vigas de forma directa.
Respecto a la no consideración de energía de deformación por cortante, se recomienda al estudiante interesado libros como \citep{Onate2013} donde se describen los elementos de viga de Timoshenko o artículos recientes en los que se muestra la utilidad de este tipo de enfoques para simular el comportamiento real de estructuras \citep{Bui2014}. %
Respecto a la no consideración de energía de deformación por cortante, se recomienda al estudiante interesado consultar libros como \citep{Onate2013} donde se describen los elementos de viga de Timoshenko o artículos recientes en los que se muestra la utilidad de este tipo de enfoques para simular el comportamiento real de estructuras \citep{Bui2014}. %
%
En este curso no se considerará deformación por cortante, hipótesis que puede ser razonable para vigas cuya relación entre largo y altura de sección transversal sea superior a 10: $\ell/h > 10$ (este número es adoptado como criterio para este curso, otros estudios numérico/experimentales pueden sugerir otros valores).
...
...
@@ -108,7 +111,7 @@ Finalmente la expresión de la deformación axial está dada por:
lo que representa una extensión de la expresión obtenida en la Ecuación~\eqref{eqn:epstimo} para el caso de deformación axial.
lo que representa una extensión de la expresión obtenida en la Ecuación~\eqref{eqn:epstimo} para el caso con deformación axial.
\cajaactividad{
Demostrar que, considerando las hipótesis de desplazamiento mencionadas, la única componente del tensor de deformaciones no nula, es $\varepsilon_{xx}$.
...
...
@@ -128,7 +131,7 @@ o también
\sigma_x (x,y) = E \varepsilon_G(x) - E y \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} (x).
\end{equation}
Esta componente de $\bfsig$ es la única que produce trabajo interno en la expresión de la energía interna de deformación dada por la Ecuación~\eqref{eqn:energbarra}.
Esta componente de $\bfsig$ es la única que produce trabajo interno en la expresión de la energía de deformación interna dada por la Ecuación~\eqref{eqn:energbarra}.
\subsection{Solicitaciones y convenciones de signo}
...
...
@@ -143,17 +146,17 @@ Para la directa se tiene
N (x) = \int_{A(x)}\sigma_x (x,y) \,\dif A
\end{equation}
%
usando que la sección transversal es uniforme, la ecuación constitutiva y la expresión de la deformación axial se tiene:
usando la ecuación constitutiva y la expresión de la deformación axial se tiene:
%
\begin{equation}
N (x) = \int_{A(x)}\left( E \frac{\partial u_G}{\partial x} - E y \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right) \,\dif A.
N (x) = \int_{A(x)}\left( E \frac{\partial u_G}{\partial x}(x) - E y \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x)\right) \,\dif A.
\end{equation}
%
Usando que el vector $\bfe_x$ pasa por el punto $G$, baricentro de la sección transversal, se tiene
%
\begin{equation}\label{eqn:direc}
\boxed{
N (x) = E A \varepsilon_G(x).
N (x) = E A(x)\varepsilon_G(x).
}
\end{equation}
%
...
...
@@ -177,7 +180,7 @@ Calculando el producto mixto y usando que el primer momento de inercia respecto
M_z (x) = E \int_{A(x)} y^2 \dif A \,\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} (x)
\end{equation}
%
usando que el material tiene sección transversal uniforme y definiendo el segundo momento de inercia respecto de $z$ como $I_z(x)=\int_{A} y^2 dA$ se obtiene:
usando ahora como hipótesis que la barra tiene sección transversal uniforme $A(x)=A$y definiendo el segundo momento de inercia respecto de $z$ como $I_z(x)=\int_{A} y^2 dA$ se obtiene:
En el Código~\ref{cod:emparrillados}en la Sección~\ref{sec:codut5}se presenta una implementación en GNU-Octave del método descrito y su aplicación para la resolución del ejemplo visto. %
En el Código~\ref{cod:emparrillados} se presenta una implementación en GNU-Octave del método descrito y su aplicación para la resolución del ejemplo visto. %
%
El código ha recibido aportes y modificaciones de estudiantes del curso 2019, los nombres de los autores fueron agregados al código y los cambios están visibles en el repositorio del código fuente de este documento.
Para validar los resultados obtenidos con el código se realiza otro modelo usando la herramienta ONSAS. Se realiza un primer modelo con análisis lineal y la misma geometría y el resultado es verificado.
Para validar los resultados obtenidos con el Código~\ref{cod:emparrillados} se realiza otro modelo usando la herramienta ONSAS. Se realiza un primer modelo con análisis lineal y la misma geometría, luego otro modelo con la geometría completa y finalmente un modelo con la geometría completa y análisis no lineal para una carga máxima 20 veces superior a $P$. El archivo del modelo está disponible en el repositorio de ONSAS\footnote{\href{https://github.com/ONSAS/ONSAS/blob/master/examples/onsasExample_emparrillado.m}{github.com/ONSAS/ONSAS/blob/master/examples/onsasExample\_emparrillado.m}} La figura deformada para el estado de cargas máximo con el análisis no lineal es mostrado en la Figura~\ref{fig:empa}.
Finalmente para comprender la deformación de la estructura se realizada un análisis no lineal para una carga máxima 20 veces superior a $P$. La deformada para el estado de cargas máximo con el análisis no lineal es mostrado en la Figura~\ref{fig:empa}, donde el factor de escala es 1.
