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\chapter[Métodos de Desplazamientos para pórticos]{Métodos de Desplazamientos para pórticos}
% intro e hipotesis
En esta Unidad Temática se presentan métodos de análisis de estructuras planas de barras en base a desplazamientos como incógnita principal. %
En esta Unidad Temática se presentan métodos de análisis de estructuras planas formadas por barras en base a desplazamientos como incógnita principal. %
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Este tema es presentado en los libros con dos grandes enfoques, por una parte un enfoque más clásico o analítico, basado en principios de superposición y razonamientos conceptuales como se puede ver en \citep{Timoshenko1940a} o \citep{CerveraRuiz2002ii}, por otra parte, un enfoque más orientado a métodos numéricos para análisis estructural en general como se ve en \citep{Onate2013}, \citep{Pilkey2002,Wunderlich2002}. %
Este tema es presentado en los libros con dos grandes enfoques: por una parte un enfoque más clásico o analítico, basado en principios de superposición y razonamientos conceptuales, como se puede ver en \citep{Timoshenko1940a,CerveraRuiz2002ii}, y por otra parte, un enfoque más orientado a métodos numéricos para análisis estructural general, como se ve en \citep{Onate2013,Pilkey2002,Wunderlich2002}. %
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Para maximizar la uniformidad de criterios en los temas abordados en el curso para el análisis de distintas estructuras, se opta por el segundo enfoque. %
En la Sección~\ref{sec:analiMatPort} donde las ecuaciones son derivadas utilizando los principios energéticos ya vistos en la Unidad Temática 2 y de forma similar a como es realizado en \citep{Reddy2002b}. %
En la Sección~\ref{sec:analiMatPort} las ecuaciones son derivadas utilizando los principios energéticos ya vistos en la Unidad Temática 2 y de forma similar a como es realizado en \citep{Reddy2002b}. %
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Luego, en la Sección~\ref{sec:metSDPort}, las ecuaciones del método del clásico \textit{Slope-Deflection} (o Método de Equilibrio en \citep{CerveraRuiz2002ii}) son presentadas, como un caso particular del desarrollo general, en el cual se asume que la energía de deformación axial es despreciable respecto a la de flexión. %
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Se invita a la o el lector a leer los materiales complementarios para entender las diferencias de enfoque y también ver las similitudes en las ecuaciones obtenidas.
Se invita al estudiante a leer los materiales complementarios para entender las diferencias de enfoque y ver también las similitudes en las ecuaciones obtenidas.
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......@@ -30,14 +31,14 @@ Se utiliza un enfoque usualmente utilizado tanto en libros de resistencia de mat
Para el análisis de pórticos es necesario abordar el estudio de vigas sometidas a cargas transversales y axiales, esto será llamado \textit{flexión compuesta}. %
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Para esto, un posible camino es agregar el efecto de la directa a las ecuaciones de la teoría de vigas a flexión pura, presentadas en la sección \ref{sec:teovigastimo}. %
Para esto, un posible camino es agregar el efecto de la directa a las ecuaciones de la teoría de vigas a flexión pura, presentadas en la Sección~\ref{sec:teovigastimo}. %
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Sin embargo se optará por otro camino orientado a deducir las ecuaciones a partir de algunas hipótesis de la teoría de vigas integradas con la Teoría de la Elasticidad. %
Sin embargo se optará por otro camino orientado a deducir las ecuaciones a partir de algunas hipótesis de la Teoría de Vigas integradas con la Teoría de la Elasticidad. %
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Este enfoque es utilizado en literatura de referencia \citep{Wunderlich2002,Onate2013} y permite llegar a los mismos resultados.
\subsubsection{Hipótesis}
Sea el campo de desplazamientos de los puntos de la viga, dados por el vector formado por las funciones: $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$ y $w(x,y,z)$, representando desplazamientos en $x$, $y$ y $z$ respectivamente. %
Se considera un sólido con una geometría como la mostrada en la Figura~\ref{fig:viga3d}, es decir una viga. Se considera que el campo de desplazamientos de los puntos de la viga, están dados por el vector formado por las funciones: $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$ y $w(x,y,z)$, representando desplazamientos en $x$, $y$ y $z$ respectivamente. %
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Asumiendo que la flexión se produce en el plano $x-y$, se consideran las siguientes hipótesis:
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......@@ -46,9 +47,11 @@ Asumiendo que la flexión se produce en el plano $x-y$, se consideran las siguie
$$
v(x,y,z) = v(x).
$$
%
\item Las secciones transversales permanecen planas y perpendiculares al eje deformado durante la deformación y los giros $\theta$ son pequeños. %
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Los desplazamientos axiales por tanto están dados por:
%
Los desplazamientos axiales están, por lo tanto, dados por:
\begin{equation} \label{eqn:despaxi}
u(x,y,z) = u_G(x) - y \theta(x),
\end{equation}
......@@ -65,7 +68,7 @@ $$
Respecto a la hipótesis de desplazamientos perpendiculares al plano, esta hipótesis representa una simplificación del comportamiento real de la estructura y el efecto de Poisson, sin embargo simplifica la aplicación de la ecuación constitutiva y el cálculo del tensor de deformaciones y permite llegar a las ecuaciones de la teoría de vigas de forma directa.
Respecto a la no consideración de energía de deformación por cortante, se recomienda al estudiante interesado libros como \citep{Onate2013} donde se describen los elementos de viga de Timoshenko o artículos recientes en los que se muestra la utilidad de este tipo de enfoques para simular el comportamiento real de estructuras \citep{Bui2014}. %
Respecto a la no consideración de energía de deformación por cortante, se recomienda al estudiante interesado consultar libros como \citep{Onate2013} donde se describen los elementos de viga de Timoshenko o artículos recientes en los que se muestra la utilidad de este tipo de enfoques para simular el comportamiento real de estructuras \citep{Bui2014}. %
%
En este curso no se considerará deformación por cortante, hipótesis que puede ser razonable para vigas cuya relación entre largo y altura de sección transversal sea superior a 10: $\ell/h > 10$ (este número es adoptado como criterio para este curso, otros estudios numérico/experimentales pueden sugerir otros valores).
......@@ -108,7 +111,7 @@ Finalmente la expresión de la deformación axial está dada por:
\varepsilon_x(x,y) = \varepsilon_G (x) -y \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x).
}
\end{equation}
lo que representa una extensión de la expresión obtenida en la Ecuación~\eqref{eqn:epstimo} para el caso de deformación axial.
lo que representa una extensión de la expresión obtenida en la Ecuación~\eqref{eqn:epstimo} para el caso con deformación axial.
\cajaactividad{
Demostrar que, considerando las hipótesis de desplazamiento mencionadas, la única componente del tensor de deformaciones no nula, es $\varepsilon_{xx}$.
......@@ -128,7 +131,7 @@ o también
\sigma_x (x,y) = E \varepsilon_G(x) - E y \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} (x).
\end{equation}
Esta componente de $\bfsig$ es la única que produce trabajo interno en la expresión de la energía interna de deformación dada por la Ecuación~\eqref{eqn:energbarra}.
Esta componente de $\bfsig$ es la única que produce trabajo interno en la expresión de la energía de deformación interna dada por la Ecuación~\eqref{eqn:energbarra}.
\subsection{Solicitaciones y convenciones de signo}
......@@ -143,17 +146,17 @@ Para la directa se tiene
N (x) = \int_{A(x)} \sigma_x (x,y) \, \dif A
\end{equation}
%
usando que la sección transversal es uniforme, la ecuación constitutiva y la expresión de la deformación axial se tiene:
usando la ecuación constitutiva y la expresión de la deformación axial se tiene:
%
\begin{equation}
N (x) = \int_{A(x)} \left( E \frac{\partial u_G}{\partial x} - E y \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} \right) \, \dif A.
N (x) = \int_{A(x)} \left( E \frac{\partial u_G}{\partial x}(x) - E y \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x) \right) \, \dif A.
\end{equation}
%
Usando que el vector $\bfe_x$ pasa por el punto $G$, baricentro de la sección transversal, se tiene
%
\begin{equation}\label{eqn:direc}
\boxed{
N (x) = E A \varepsilon_G(x).
N (x) = E A(x) \varepsilon_G(x).
}
\end{equation}
%
......@@ -177,7 +180,7 @@ Calculando el producto mixto y usando que el primer momento de inercia respecto
M_z (x) = E \int_{A(x)} y^2 \dif A \, \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} (x)
\end{equation}
%
usando que el material tiene sección transversal uniforme y definiendo el segundo momento de inercia respecto de $z$ como $I_z(x) = \int_{A} y^2 dA$ se obtiene:
usando ahora como hipótesis que la barra tiene sección transversal uniforme $A(x)=A$ y definiendo el segundo momento de inercia respecto de $z$ como $I_z(x) = \int_{A} y^2 dA$ se obtiene:
%
\begin{equation}\label{eqn:momen}
\boxed{
......
......@@ -319,18 +319,19 @@ $$
\subsection{Implementación computacional}
En el Código~\ref{cod:emparrillados} en la Sección~\ref{sec:codut5} se presenta una implementación en GNU-Octave del método descrito y su aplicación para la resolución del ejemplo visto. %
En el Código~\ref{cod:emparrillados} se presenta una implementación en GNU-Octave del método descrito y su aplicación para la resolución del ejemplo visto. %
%
El código ha recibido aportes y modificaciones de estudiantes del curso 2019, los nombres de los autores fueron agregados al código y los cambios están visibles en el repositorio del código fuente de este documento.
\lstinputlisting[caption = {Archivo: {emparrillados.m}.}\label{cod:emparrillados}]{../octave/emparrillados.m}
\lstinputlisting[caption = {Archivo: {emparrillados.m}.}\label{cod:emparrillados}]{../octave/UT5/emparrillados.m}
Para validar los resultados obtenidos con el código se realiza otro modelo usando la herramienta ONSAS. Se realiza un primer modelo con análisis lineal y la misma geometría y el resultado es verificado.
Para validar los resultados obtenidos con el Código~\ref{cod:emparrillados} se realiza otro modelo usando la herramienta ONSAS. Se realiza un primer modelo con análisis lineal y la misma geometría, luego otro modelo con la geometría completa y finalmente un modelo con la geometría completa y análisis no lineal para una carga máxima 20 veces superior a $P$. El archivo del modelo está disponible en el repositorio de ONSAS\footnote{\href{https://github.com/ONSAS/ONSAS/blob/master/examples/onsasExample_emparrillado.m}{github.com/ONSAS/ONSAS/blob/master/examples/onsasExample\_emparrillado.m}} La figura deformada para el estado de cargas máximo con el análisis no lineal es mostrado en la Figura~\ref{fig:empa}.
Finalmente para comprender la deformación de la estructura se realizada un análisis no lineal para una carga máxima 20 veces superior a $P$. La deformada para el estado de cargas máximo con el análisis no lineal es mostrado en la Figura~\ref{fig:empa}, donde el factor de escala es 1.
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{defONSASemparrillado}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{defONSASemparrillado}
\caption{Deformada emparrillado, con análisis no lineal y estado de carga 20 $P$ (factor de esacala: 1).}
\label{fig:empa}
\end{figure}
......
......@@ -2,94 +2,61 @@
% ejemplo de codigo para analisis de emparrillados usando a metodo matricial
% Ejecucion en GNU-Octave - Octubre 2019 - Jorge Perez Zerpa, Ignacio Suarez, Bruno Bouchard
% ----------------------------------------------------------------------
close all, clear all
l = 2 ; width = 0.05 ;
E = 210e9 ; nu = 0.3 ; P = 4e3 ;
% modulo de corte
G = E/(2*(1+nu)) ;
% ======= parametros ingresados ==========
l = 2 ; width = 0.05 ; E = 210e9 ; nu = 0.3 ; P = 4e3 ;
% propiedades geometricas de seccion cuadrada
J = 0.141*width^4 ; I = width^4/12 ; A = width^2 ;
% x z
Nodes = [ 0 l/2 ; ...
l l/2 ; ...
l 0 ] ;
% n1 n2 mat sec
Conec = [ 1 2 ; ...
2 3 ] ;
% coord nodos x z
Nodes = [ 0 l/2 ; ...
l l/2 ; ...
l 0 ] ;
% conectividad: nodo1 nodo2
Conec = [ 1 2 ; ...
2 3 ] ;
Angles = [ 0 -pi/2 ]' ;
fixeddofs = [ 1 2 3 7 ];
nelems = size( Conec,1);
nnodes = size( Nodes,1);
freedofs = (1:(3*nnodes));
freedofs(fixeddofs) = [] ;
% ======= calculos ==========
G = E/(2*(1+nu)) ; % modulo de corte
nelems = size( Conec,1); nnodes = size( Nodes,1);
freedofs = (1:(3*nnodes)); freedofs(fixeddofs) = [] ;
KG = sparse( 3*nnodes, 3*nnodes ) ;
for i = 1:nelems
alphay = Angles(i); ca = cos(alphay); sa = sin(alphay);
alphay = Angles(i); ca = cos(alphay); sa = sin(alphay);
R = [ ca 0 -sa 0 0 0 ; ...
0 1 0 0 0 0 ; ...
sa 0 ca 0 0 0 ; ...
0 0 0 ca 0 -sa ; ...
0 0 0 0 1 0 ; ...
0 0 0 sa 0 ca ] ;
elemNodes = Conec( i,:);
lelem = norm( Nodes( elemNodes(2),:) - Nodes( elemNodes(1),:) ) ;
KL = zeros(6,6);
KL([1 4], [1 4]) = G*J/lelem * [ 1 -1 ; ...
-1 1 ] ;
KL([2 3 5 6], [2 3 5 6]) = E*I * [ 12/(lelem^3) 6/(lelem^2) -12/(lelem^3) 6/(lelem^2) ; ...
6/(lelem^2) 4/(lelem ) -6/(lelem^2) 2/(lelem ) ; ...
-12/(lelem^3) -6/(lelem^2) 12/(lelem^3) -6/(lelem^2) ; ...
6/(lelem^2) 2/(lelem ) -6/(lelem^2) 4/(lelem ) ] ;
dofsElem = [ (elemNodes(1)*3-2):(elemNodes(1)*3) (elemNodes(2)*3-2):(elemNodes(2)*3) ] ;
KL = zeros(6,6);
KL([1 4],[1 4]) = G*J/lelem * [ 1 -1 ; -1 1 ] ;
KL([2 3 5 6],[2 3 5 6]) = E*I*[ 12/(lelem^3) 6/(lelem^2) -12/(lelem^3) 6/(lelem^2);
6/(lelem^2) 4/(lelem ) -6/(lelem^2) 2/(lelem );
-12/(lelem^3) -6/(lelem^2) 12/(lelem^3) -6/(lelem^2);
6/(lelem^2) 2/(lelem ) -6/(lelem^2) 4/(lelem )];
dofsElem=[ (elemNodes(1)*3-2):(elemNodes(1)*3) (elemNodes(2)*3-2):(elemNodes(2)*3) ];
KG( dofsElem, dofsElem ) += R * KL * R' ;
end
FG = zeros ( 3*nnodes, 1 ) ;
FG(8) = -P/2 ;
FG = zeros ( 3*nnodes, 1) ; FG(8) = -P/2 ;
% imposicion de condiciones de contorno
KG(fixeddofs, :) = [] ; KG(:, fixeddofs) = [] ;
FG( fixeddofs ) = [] ;
KG(fixeddofs, :) = [] ; KG(:, fixeddofs) = [] ; FG( fixeddofs ) = [] ;
% resolucion de sistema
u = KG\FG ;
UG = zeros( 3*nnodes,1);
UG(freedofs ) = u
u = KG\FG ; UG = zeros( 3*nnodes,1); UG(freedofs ) = u
%ploteo de parrillado
figure
hold on, grid on
% ploteo de emparrillado
figure, hold on, grid on
diameterStructure = max(max( Nodes)) - min(min(Nodes)) ;
margen = 0.1 * diameterStructure ;
for i=1:nelems
nodesElem = Conec(i,:)
nodesElem = Conec(i,:) ;
p1 = Nodes( nodesElem(1),:)
p2 = Nodes( nodesElem(2),:)
plot3( [p1(1) p2(1)], [p1(2) p2(2)], [0 0] ,'b')
end
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