Commit 0995deb8 authored by Jorge Pérez Zerpa's avatar Jorge Pérez Zerpa
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This diff is collapsed.
%% Creator: Inkscape 1.2.1 (9c6d41e410, 2022-07-14, custom), www.inkscape.org
%% PDF/EPS/PS + LaTeX output extension by Johan Engelen, 2010
%% Accompanies image file 'ejer_pand_barras.pdf' (pdf, eps, ps)
%%
%% To include the image in your LaTeX document, write
%% \input{<filename>.pdf_tex}
%% instead of
%% \includegraphics{<filename>.pdf}
%% To scale the image, write
%% \def\svgwidth{<desired width>}
%% \input{<filename>.pdf_tex}
%% instead of
%% \includegraphics[width=<desired width>]{<filename>.pdf}
%%
%% Images with a different path to the parent latex file can
%% be accessed with the `import' package (which may need to be
%% installed) using
%% \usepackage{import}
%% in the preamble, and then including the image with
%% \import{<path to file>}{<filename>.pdf_tex}
%% Alternatively, one can specify
%% \graphicspath{{<path to file>/}}
%%
%% For more information, please see info/svg-inkscape on CTAN:
%% http://tug.ctan.org/tex-archive/info/svg-inkscape
%%
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\errmessage{(Inkscape) Transparency is used (non-zero) for the text in Inkscape, but the package 'transparent.sty' is not loaded}%
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<text
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<text
......@@ -586,27 +625,27 @@
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<path
style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.356437;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-opacity:1"
d="m 89.072415,105.72757 c -1.71774,1.71773 -1.71774,1.71773 -1.71774,1.71773"
d="m 89.072415,104.25065 c -1.71774,1.71773 -1.71774,1.71773 -1.71774,1.71773"
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<path
style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.356437;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-opacity:1"
d="m 87.834455,105.70656 c -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774"
d="m 87.834455,104.22964 c -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774"
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<path
style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.356437;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-opacity:1"
d="m 86.533975,105.67745 c -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774"
d="m 86.533975,104.20053 c -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774"
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<path
style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.356437;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-opacity:1"
d="m 90.170135,105.68261 c -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774"
d="m 90.170135,104.20569 c -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774 -1.71774,1.71774"
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<path
style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
d="m 90.125845,105.76516 -4.73235,0.0383"
d="m 90.125845,104.28824 -4.73235,0.0383"
id="path5745-6"
inkscape:connector-curvature="0" />
<circle
......@@ -808,7 +847,7 @@
x="170.18044"
y="71.329048"
id="tspan5193-4-5-7-4-1-7-1"
style="font-size:1.84889px;line-height:1.25;stroke-width:1px">$P/2$</tspan></text>
style="font-size:1.84889px;line-height:1.25;stroke-width:1px">$P$</tspan></text>
<path
style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.282;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-opacity:1"
d="m 176.51419,103.41812 c -2.3853,2.3853 -2.3853,2.3853 -2.3853,2.3853"
......
......@@ -558,7 +558,7 @@ Obteniendo que la tensión máxima de compresión es,
La pieza de la figura soporta las cargas $P=30$ kN indicadas. Obtener el diagrama de tensiones normales en la sección $x-x$.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{UT6ej1}
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{UT6ej1}
\end{center}
\ejercicio
......@@ -567,7 +567,7 @@ La pieza de la figura soporta las cargas $P=30$ kN indicadas. Obtener el diagram
Sobre la sección de la figura se aplican las cargas $P$ y $Q$ de compresión.
\parte Determinar los valores que deben tener los coeficientes $\alpha$ y $\beta$, tal que $\alpha P < Q < \beta P$, para que toda la sección esté comprimida.
\parte Para $Q= \alpha P$, determinar $P_{adm}$ si $a=20cm$ y $\sigma_{adm}=6MPa$. Obtener el diagrama de tensiones normales para ese valor hallado.
\parte Para $Q= \alpha P$, determinar $P_{adm}$ si $a=20$ cm y $\sigma_{adm}=6$ MPa. Obtener el diagrama de tensiones normales para ese valor hallado.
\end{minipage}
~
\begin{minipage}[b]{0.45\textwidth}
......@@ -579,7 +579,7 @@ Sobre la sección de la figura se aplican las cargas $P$ y $Q$ de compresión.
\ejercicio
%\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
Una barra recta, formada por un perfil normalizado L $100x100x10$, de $3m$ de longitud, está empotrada en uno de sus extremos y sometida a su peso propio ($g=10 m/s^2$), como se muestra en la figura.
Una barra recta, formada por un perfil normalizado L $100\times 100\times 10$, de $3 $ m de longitud, está empotrada en uno de sus extremos y sometida a su peso propio ($g=10 $ m/s$^2$), como se muestra en la figura.
%\end{minipage}
%~
......@@ -594,62 +594,51 @@ Se pide: determinar las máximas tensiones normales de tracción y compresión q
\ejercicio
Para la generación de columnas de iluminación se suelen emplear elementos prefabricados como los de la Figura~\ref{fig:UT64.1}. Se considera una de esas columnas de sección tubular de radio externo $R$ y radio interno $r= \alpha R$, como indica la Figura ~\ref{fig:UT64.2}.
Para la construcción de columnas de iluminación se suelen emplear elementos prefabricados como los mostrados en la figura a la izquierda. Se considera una de esas columnas de sección tubular de radio externo $R$ y radio interno $r= \alpha R$, como indica la figura a la derecha.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.37\textwidth]{UT6ej4-1}
\hspace{0.1\textwidth}
\includegraphics[width=0.27\textwidth]{UT6ej4-2}
\end{center}
\begin{figure}[htb]
\centering
\subfloat[Elementos prefabricados]{
\includegraphics[width=0.37\textwidth]{UT6ej4-1}
\label{fig:UT64.1}}
\hspace{0.1\textwidth}
\subfloat[Esquema de sección]{
\includegraphics[width=0.27\textwidth]{UT6ej4-2}
\label{fig:UT64.2}}
\caption{}
\label{fig:UT64}
\end{figure}
\parte Determinar $\alpha$ para que el perímetro interior sea el contorno del núcleo central de la sección.
\parte Si se aplica una directa de compresión $P$ que varía de ubicación entre A y B, y el material es tal que $\sigma_{adm,trac}=9MPa$ y $\sigma_{adm,comp}=40MPa$, calcular $P_{adm}$ para $R=50cm$ y el $\alpha$ determinado.
\parte Si se aplica una directa de compresión $P$ que varía de ubicación entre A y B, y el material es tal que $\sigma_{adm,trac}=9$ MPa y $\sigma_{adm,comp}=40$ MPa, calcular $P_{adm}$ para $R=50$ cm y el $\alpha$ determinado en a).
\ejercicio
En la Figura~\ref{fig:UT65.1} se presenta una viga pretensada de largo $L=25m$. El esquema básico de cálculo de la viga se presenta en la Figura~\ref{fig:UT65.2} y su sección se muestra en la Figura~\ref{fig:UT65.3}. Pretensar un elemento estructural implica introducirle esfuerzos previamente a su puesta en funcionamiento con el propósito de contrarrestar aquellos que serán ocasionados por la aplicación de las cargas que actuarán cuando ella entre en servicio. El pretensado de esta viga se puede representar mediante una fuerza concentrada $F$ de compresión en el eje vertical, a una cierta distancia $e$ del borde inferior.
En la figura a la izquierda se presenta una viga pretensada de largo $L=25 $ m. El esquema básico de cálculo de la viga se presenta en la figura derecha.
\begin{figure}[htb]
\centering
\subfloat[Elementos prefabricados]{
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{UT6ej5-1}
\label{fig:UT65.1}}
\hspace{0.1\textwidth}
\subfloat[Esquema básico de cálculo]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{UT6ej5-2}
\label{fig:UT65.2}}
\caption{}
\label{fig:UT65}
\end{figure}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.35\textwidth]{UT6ej5-3}
\caption{Esquema de sección.}
\label{fig:UT65.3}
\end{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.34\textwidth]{UT6ej5-1}
\hspace{0.1\textwidth}
\includegraphics[width=0.44\textwidth]{UT6ej5-2}
\end{center}
Pretensar un elemento estructural implica introducirle esfuerzos, previo a su colocación y someterlo a cargas de uso, con el propósito de contrarrestar aquellos que serán ocasionados por la aplicación de las cargas que actuarán cuando entre en servicio. El pretensado de esta viga se puede representar mediante una fuerza concentrada $F$ de compresión en el eje vertical de la sección transversal, a una cierta distancia $e$ del borde inferior como se muestra en la figura.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.33\textwidth]{UT6ej5-3}
\end{center}
Se pide:
\parte Determinar el núcleo central de la sección.
\parte Si $p=16 kN/m$ (incluido el peso propio), calcular la fuerza $F$ a aplicar y la excentricidad $e$, de manera que para la sección central de la viga se cumpla $\sigma_{sup}=0MPa$ y $\sigma_{inf}=18MPa$.
\parte Si $p=16 $ kN/m (incluido el peso propio), calcular la fuerza $F$ a aplicar y la excentricidad $e$, de manera que para la sección central de la viga se cumpla $\sigma_{sup}=0$ MPa y $\sigma_{inf}=18$ MPa.
\ejercicio
El esqquema de un mástil se representa en la Figura. Dicho mástil está construido en hormigón ($\rho=25 kN/m^3$), empotrado en su base y soporta en su extremo libre una fuerza horizontal $F$. Su sección transversal es constante y se indica en la Figura.
El esquema de un mástil se representa en la siguiente figura a la izquierda considerando dos direcciones de actuación de una fuerza. Dicho mástil está construido en hormigón ($\rho=25 $ kN/m$^3$), empotrado en su base y soporta en su extremo libre una fuerza horizontal $F$. Su sección transversal es uniforme y se muestra en la siguiente figura a la derecha.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{UT6ej6}
\includegraphics[width=0.72\linewidth]{UT6ej6}
\end{center}
Se pide:
\parte Determinar el núcleo central de la sección.
\parte Si la dirección de $F$ es paralela a una de las caras de la sección transversal, determinar su valor admisible para que no existan tensiones de tracción en el empotramiento. Trazar el diagrama de tensiones normales.
\parte Si la dirección de $F$ es paralela a una de las diagonales de la sección transversal, determinar su valor admisible para que no existan tensiones de tracción en el empotramiento. Trazar el diagrama de tensiones normales.
\parte Si la dirección de $F$ es paralela a una de las caras de la sección transversal, determinar su valor de modo que $\sigma_{trac,max}=-1/4\sigma_{comp,max}$. Trazar el diagrama de tensiones normales.
\parte Si la dirección de $F$ es paralela a una de las caras de la sección transversal, determinar su valor de modo que $\sigma_{trac,max}=-\frac{1}{4} \sigma_{comp,max}$. Trazar el diagrama de tensiones normales.
\ejercicio
......@@ -665,19 +654,20 @@ Sobre la sección de la figura se aplican las cargas $P$ y $Q$ de igual valor y
\ejercicio
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
La zapata de la figura trasmite al terreno la descarga vertical de un pilar, siendo $P=40kN$. %
\noindent
\begin{minipage}[b]{0.54\textwidth}
La zapata de la figura trasmite al terreno la descarga vertical de un pilar, siendo $P=40$ kN. %
%
Calcular el lado menor ($b$) de la zapata, si $\sigma_{terreno}=0,15MPa$.
Calcular el lado menor ($b$) de la zapata, si $\sigma_{terreno}=0,15$ MPa.
\parte $e=0$.
\parte $e=0,25m$.
\parte $e=0,50m$.
\parte $e=0,25$ m.
\parte $e=0,50$ m.
\end{minipage}
~
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
\begin{minipage}[b]{0.45\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{UT6ej8}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{UT6ej8}
\end{center}
\end{minipage}
......@@ -686,7 +676,7 @@ Calcular el lado menor ($b$) de la zapata, si $\sigma_{terreno}=0,15MPa$.
La zapata de la figura trasmite al terreno la descarga vertical P cuyo punto de aplicación es el indicado en la figura.
Calcular $P_{adm}$ si $\sigma_{terreno}=0,6MPa$.
Calcular $P_{adm}$ si $\sigma_{terreno}=0,6$ MPa.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{UT6ej9}
......@@ -694,38 +684,25 @@ Calcular $P_{adm}$ si $\sigma_{terreno}=0,6MPa$.
\ejercicio (Adicional)
Se quiere construir un alero como el de la Figura~\ref{fig:UT610.1} según el esquema básico de cálculo de la Figura~\ref{fig:UT610.2}. Si $\sigma_{adm}=125MPa$, dimensionar en $PNI$ el travesaño BC.
Se quiere construir un alero como el de la figura a la izquierda según el esquema básico de cálculo de la figura a la derecha. Si $\sigma_{adm}=125$ MPa, dimensionar en $PNI$ el travesaño BC.
\begin{figure}[htb]
\centering
\subfloat[Alero]{
\includegraphics[width=0.35\textwidth]{UT6ej10-1}
\label{fig:UT610.1}}
~
\subfloat[Esquema básico de cálculo]{
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{UT6ej10-2}
\label{fig:UT610.2}}
\caption{}
\label{fig:UT610}
\end{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.42\textwidth]{UT6ej10-1}
\hspace{0.01\textwidth}
\includegraphics[width=0.54\textwidth]{UT6ej10-2}
\end{center}
\ejercicio (Adicional)
En la estructura de la Figura~\ref{fig:UT611.1} ($EI=cte$) el pilar AB descarga centrado en la zapata de hormigón de la Figura~\ref{fig:UT611.2}. Considerar $P=20kN$ y $L=2m$.
En la estructura de la figura a la izquierda ($EI$ uniforme) el pilar AB descarga centrado en la zapata de hormigón con geometría mostrada en la figura de la derecha. Considerar $P=20$ kN y $L=2$ m.
\begin{figure}[htb]
\centering
\subfloat[Esquema básico de cálculo]{
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{UT6ej11-1}
\label{fig:UT611.1}}
\hspace{0.1\textwidth}
\subfloat[Zapata]{
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{UT6ej11-2}
\label{fig:UT611.2}}
\caption{}
\label{fig:UT611}
\end{figure}
\hspace{0.03\textwidth}
\includegraphics[width=0.36\textwidth]{UT6ej11-2}
\end{center}
Se pide:
\parte Obtener las reacciones de la estructura en el punto A.
\parte Determinar la máxima tensión en el terreno.
......@@ -733,7 +710,7 @@ En la estructura de la Figura~\ref{fig:UT611.1} ($EI=cte$) el pilar AB descarga
\ejercicio
Para la estructura dada en el ejercicio 5.8, se pide:
Para la estructura dada en el ejercicio 5.6, se pide:
\parte Determinar la ecuación de la línea neutra en la sección C.
......
......@@ -120,7 +120,7 @@ Para poder estudiar el fenómeno de inestabilidad, se debe modificar el modelo e
\section{Teoría de segundo orden para barras comprimidas}
\subsection{Carga crítica para barras articuladas comprimidas}
\subsection{Carga crítica para barras articuladas comprimidas} \label{sec:pand_barra}
En esta sección se presenta de forma simplificada y didáctica el concepto de carga crítica y el fenómeno de inestabilidad en un modelo de segundo orden.
Se considera una barra articulada como se muestra en la \autoref{fig:ejpandbarra}. La barra es considerada rígida a directa y por lo tanto solo tiene un grado de libertad: la rotación respecto al apoyo fijo. La configuración de referencia es la punteada y la deformada es la de trazo continuo.
......@@ -170,27 +170,27 @@ $$
$$
por lo tanto
$$
u( k - \frac{P}{\ell} ) = 0.
u \left( k - \frac{P}{\ell} \right) = 0.
$$
Podemos ver que esta ecuación tiene dos tipos de solución, por una parte, $u=0$ que coincide con la solución de la teoría lineal, o también, esta ecuación se podría cumplir para cualquier $u$ cuando $P$ alcanza el valor $k\ell$, lo que representa una inestabilidad, por quedar indeterminado el desplazamiento para ese valor de carga, que llamaremos carga crítica:
\begin{equation}
P_{crit} = kL.
P_{crit} = k \ell.
\end{equation}
Adicionalmente, se puede calcular la derivada segunda de la energía potencial, lo que indica si el punto crítico está asociado a un mínimo, punto silla o máximo. Se obtiene que:
$$
\frac{\partial^2 \Pi}{\partial u^2}(u) = k - \frac{P}{L}
\frac{\partial^2 \Pi}{\partial u^2}(u) = k - \frac{P}{ \ell}
$$
%
por lo tanto:
\begin{itemize}
\item si $P< kL$ entonces: $u=0$ y min de $\Pi$ (estabilidad).
\item si $P= kL$ entonces: $u$ puede tomar cualquier valor y punto silla.
\item si $P> kL$ entonces: $u=0$ y máximo de $\Pi$ (equilibrio inestable)
%
\item si $P< k \ell$ entonces: $u=0$ y min de $\Pi$ (estabilidad).
%
\item si $P= k \ell$ entonces: $u$ puede tomar cualquier valor y punto silla.
%
\item si $P> k \ell$ entonces: $u=0$ y máximo de $\Pi$ (equilibrio inestable)
\end{itemize}
......@@ -963,16 +963,12 @@ Hallar la ecuación que permite determinar la luz de pandeo en el plano del reso
\ejercicio
Sea la siguiente estructura formada por barras de longitud $\ell$ y rigideces a flexión $EI_c$ y $EI_b$ sometida a una carga puntual $P$, como se muestra en la \autoref{fig:ejporticopandeo}. Se asume que las barras tienen rigidez axial tal que no hay deformación axial (barras inextensibles).
Sea la siguiente estructura formada por barras de longitud $\ell$ y rigideces a flexión $EI_c$ y $EI_b$ sometida a una carga puntual $P$, como se muestra en la figura. Se asume que las barras tienen rigidez axial tal que no hay deformación axial (barras inextensibles).
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{center}
\def\svgwidth{0.5\textwidth}
\input{figs/UT7/ejPortL.pdf_tex}
\caption{Esquema estructural del pórtico.}
\label{fig:ejporticopandeo}
\end{center}
\end{figure}
\end{center}
Se asume que al alcanzar la carga de pandeo, el cortante en la barra BC es despreciable con respecto a $P_{cr}$, es decir que es considerado $V_{BC} \approx 0$, por lo que se puede obtener el momento en la barra BC mediante ecuaciones de equilibrio. En las ecuaciones que relacionan $M_{BC}$ y $\theta_B$, se desprecia el descenso de B.
......@@ -981,3 +977,20 @@ Se pide:
\parte obtener la carga crítica para el caso $I_b$ = $I_c$
\parte obtener la carga crítica para el caso $I_b$ = $\infty$
\parte obtener la carga crítica para el caso $I_b$ = 0
\ejercicio
Durante etapas preliminares de diseño de un galpón metálico se considera el siguiente esquema básico para los pilares que sostienen las cerchas, donde $\ell=4$ m. Se asume que todos los elementos son inextensibles. Se asume que el perfil PNI22 es orientado de forma tal que aporte mayor rigidez para evitar desplazamientos de la estructura en el plano de la misma. Los PNI20 están articulados en ambos extremos y pueden pandear en ambos planos.
\begin{center}
\def\svgwidth{0.85\textwidth}
\input{figs/UT7/ejer_pand_barras.pdf_tex}
\end{center}
Se pide:
\parte Obtener la expresión de la carga crítica $P$ considerando únicamente pandeo \textit{local}.
\parte Realizar un razonamiento similar al de la Sección~\ref{sec:pand_barra} y obtener la carga de inestabilización lateral. Obtener, considerando también el resultado de a), la carga crítica de pandeo \textit{global} de la estructura.
\ No newline at end of file
......@@ -1520,4 +1520,9 @@ $$
\indent d) $P_{crit}$ = $P_E$
\textbf{Ejercicio 7.6}\\
\indent a) $$P_{crit,local} = \frac{\pi^2 E I_{min,PNI20}}{\ell^2}$$
\indent b) $$P_{crit,global} = \frac{3}{4} \frac{E I_{max,PNI22}}{\ell^4}$$
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