Commit 12f694a8 authored by Joaquin Viera's avatar Joaquin Viera
Browse files

Agrego correcciones al informe

parent ca22f65f
......@@ -22,11 +22,11 @@
\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
\providecommand\HyField@AuxAddToFields[1]{}
\providecommand\HyField@AuxAddToCoFields[2]{}
\BKM@entry{id=1,dest={73656374696F6E2E31},srcline={70}}{496E74726F64756363695C3336336E}
\BKM@entry{id=1,dest={73656374696F6E2E31},srcline={71}}{496E74726F64756363695C3336336E}
\citation{notasANLE}
\citation{ONSAS}
\BKM@entry{id=2,dest={73656374696F6E2E32},srcline={82}}{456E6572675C3335356120506F74656E6369616C20746F74616C}
\BKM@entry{id=3,dest={73756273656374696F6E2E322E31},srcline={84}}{456E6572675C3335356120506F74656E6369616C20646520706C616361732072656374616E67756C617265732066696E6173}
\BKM@entry{id=2,dest={73656374696F6E2E32},srcline={83}}{456E6572675C3335356120506F74656E6369616C20746F74616C}
\BKM@entry{id=3,dest={73756273656374696F6E2E322E31},srcline={85}}{456E6572675C33353561206465206465666F726D6163695C3336336E20646520706C616361732072656374616E67756C617265732066696E6173}
\citation{yoo2011}
\citation{yoo2011}
\citation{yoo2011}
......@@ -35,98 +35,87 @@
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Introducci\IeC {\'o}n}{1}{section.1}}
\newlabel{grupo1}{{1}{1}{Introducción}{section.1}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Energ\IeC {\'\i }a Potencial total}{1}{section.2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Energ\IeC {\'\i }a Potencial de placas rectangulares finas}{1}{subsection.2.1}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Energ\IeC {\'\i }a de deformaci\IeC {\'o}n de placas rectangulares finas}{1}{subsection.2.1}}
\@LN@col{2}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Geometr\IeC {\'\i }a de la placa en la configuraci\IeC {\'o}n indeformada.\relax }}{1}{figure.caption.1}}
\providecommand*\caption@xref[2]{\@setref\relax\@undefined{#1}}
\newlabel{fig:placaGeom1}{{1}{1}{Geometría de la placa en la configuración indeformada.\relax }{figure.caption.1}{}}
\newlabel{eq:5}{{2}{1}{Energía Potencial de placas rectangulares finas}{equation.2.2}{}}
\newlabel{eq:6}{{3}{1}{Energía Potencial de placas rectangulares finas}{equation.2.3}{}}
\newlabel{eq:5}{{2}{1}{Energía de deformación de placas rectangulares finas}{equation.2.2}{}}
\newlabel{eq:6}{{3}{1}{Energía de deformación de placas rectangulares finas}{equation.2.3}{}}
\newlabel{eq:8}{{6}{1}{Energía de deformación de placas rectangulares finas}{equation.2.6}{}}
\citation{almroth}
\BKM@entry{id=4,dest={73756273656374696F6E2E322E32},srcline={181}}{54726162616A6F2065787465726E6F206465206C617320667565727A6173}
\BKM@entry{id=5,dest={73756273656374696F6E2E322E33},srcline={188}}{456E6572675C3335356120706F74656E6369616C20746F74616C}
\BKM@entry{id=4,dest={73756273656374696F6E2E322E32},srcline={182}}{54726162616A6F2065787465726E6F206465206C617320667565727A6173}
\BKM@entry{id=5,dest={73756273656374696F6E2E322E33},srcline={189}}{456E6572675C3335356120706F74656E6369616C20746F74616C}
\citation{notasANLE}
\citation{crisfield,hunt}
\citation{almroth,bathe}
\citation{timoshenko1,timoshenko2}
\BKM@entry{id=6,dest={73656374696F6E2E33},srcline={219}}{506C6163612073696D706C656D656E74652061706F7961646120656E203220626F72646573}
\BKM@entry{id=6,dest={73656374696F6E2E33},srcline={220}}{506C6163612073696D706C656D656E74652061706F7961646120656E203220626F72646573}
\@LN@col{1}
\newlabel{eq:8}{{6}{2}{Energía Potencial de placas rectangulares finas}{equation.2.6}{}}
\newlabel{eq:U}{{10}{2}{Energía Potencial de placas rectangulares finas}{equation.2.10}{}}
\newlabel{eq:U}{{10}{2}{Energía de deformación de placas rectangulares finas}{equation.2.10}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}Trabajo externo de las fuerzas}{2}{subsection.2.2}}
\newlabel{subsec:Wext}{{2.2}{2}{Trabajo externo de las fuerzas}{subsection.2.2}{}}
\@LN@col{2}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.3}Energ\IeC {\'\i }a potencial total}{2}{subsection.2.3}}
\newlabel{subsec:total}{{2.3}{2}{Energía potencial total}{subsection.2.3}{}}
\@LN@col{2}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Placa simplemente apoyada en 2 bordes}{2}{section.3}}
\BKM@entry{id=7,dest={73756273656374696F6E2E332E31},srcline={234}}{43617267612063725C33353574696361}
\BKM@entry{id=8,dest={73756273656374696F6E2E332E32},srcline={283}}{416E5C3334316C6973697320706F73742D63725C3335357469636F}
\BKM@entry{id=7,dest={73756273656374696F6E2E332E31},srcline={235}}{43617267612063725C33353574696361}
\BKM@entry{id=8,dest={73756273656374696F6E2E332E32},srcline={435}}{4D6F64656C6F20636F6E20656D70617272696C6C61646F}
\citation{ONSAS}
\citation{hambly}
\@LN@col{1}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Placa simplemente apoyada.\relax }}{3}{figure.caption.2}}
\newlabel{fig:placaEulerG}{{2}{3}{Placa simplemente apoyada.\relax }{figure.caption.2}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Carga cr\IeC {\'\i }tica}{3}{subsection.3.1}}
\newlabel{subsec:critSA}{{3.1}{3}{Carga crítica}{subsection.3.1}{}}
\@LN@col{2}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}An\IeC {\'a}lisis post-cr\IeC {\'\i }tico}{3}{subsection.3.2}}
\newlabel{subsec:postEuler}{{3.2}{3}{Análisis post-crítico}{subsection.3.2}{}}
\BKM@entry{id=9,dest={73756273656374696F6E2E332E33},srcline={429}}{4D6F64656C6F20636F6E20656D70617272696C6C61646F}
\citation{ONSAS}
\citation{hambly}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Modelo con emparrillado}{3}{subsection.3.2}}
\@LN@col{1}
\newlabel{eq:u0}{{32}{4}{Análisis post-crítico}{equation.3.32}{}}
\newlabel{eq:w0}{{33}{4}{Análisis post-crítico}{equation.3.33}{}}
\newlabel{eq:N}{{35}{4}{Análisis post-crítico}{equation.3.35}{}}
\newlabel{eq:w0simpl}{{36}{4}{Análisis post-crítico}{equation.3.36}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Geometr\IeC {\'\i }a indeformada.\relax }}{4}{figure.caption.3}}
\newlabel{fig:indeformadaEuler}{{3}{4}{Geometría indeformada.\relax }{figure.caption.3}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces Desplazamiento lateral $w$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{4}{figure.caption.4}}
\newlabel{fig:lateralEuler}{{4}{4}{Desplazamiento lateral $w$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Desplazamiento longitudinal $u$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{4}{figure.caption.5}}
\newlabel{fig:edgeEuler}{{5}{4}{Desplazamiento longitudinal $u$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.5}{}}
\@LN@col{2}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Gr\IeC {\'a}fico $N_x-w_0$.\relax }}{4}{figure.caption.3}}
\newlabel{fig:Nw}{{3}{4}{Gráfico $N_x-w_0$.\relax }{figure.caption.3}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.3}Modelo con emparrillado}{4}{subsection.3.3}}
\@LN@col{1}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces Geometr\IeC {\'\i }a indeformada.\relax }}{5}{figure.caption.4}}
\newlabel{fig:indeformadaEuler}{{4}{5}{Geometría indeformada.\relax }{figure.caption.4}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Desplazamiento lateral $w$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{5}{figure.caption.5}}
\newlabel{fig:lateralEuler}{{5}{5}{Desplazamiento lateral $w$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.5}{}}
\@LN@col{2}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Desplazamiento longitudinal $u$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{5}{figure.caption.6}}
\newlabel{fig:edgeEuler}{{6}{5}{Desplazamiento longitudinal $u$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.6}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {7}{\ignorespaces Desplazamiento longitudinal $u$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{5}{figure.caption.7}}
\newlabel{fig:edgeEulerZoom}{{7}{5}{Desplazamiento longitudinal $u$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.7}{}}
\BKM@entry{id=10,dest={73656374696F6E2E34},srcline={501}}{506C6163612073696D706C656D656E74652061706F7961646120656E203420626F72646573}
\BKM@entry{id=11,dest={73756273656374696F6E2E342E31},srcline={525}}{43617267612063725C33353574696361}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Desplazamiento longitudinal $u$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{4}{figure.caption.6}}
\newlabel{fig:edgeEulerZoom}{{6}{4}{Desplazamiento longitudinal $u$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.6}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {7}{\ignorespaces Deformada de la placa.\relax }}{4}{figure.caption.7}}
\newlabel{fig:deformadaEuler}{{7}{4}{Deformada de la placa.\relax }{figure.caption.7}{}}
\BKM@entry{id=9,dest={73656374696F6E2E34},srcline={507}}{506C6163612073696D706C656D656E74652061706F7961646120656E203420626F72646573}
\BKM@entry{id=10,dest={73756273656374696F6E2E342E31},srcline={531}}{43617267612063725C33353574696361}
\citation{timoshenko1}
\@LN@col{1}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {8}{\ignorespaces Deformada de la placa.\relax }}{6}{figure.caption.8}}
\newlabel{fig:deformadaEuler}{{8}{6}{Deformada de la placa.\relax }{figure.caption.8}{}}
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {1}{\ignorespaces Comparaci\IeC {\'o}n entre cargas cr\IeC {\'\i }ticas te\IeC {\'o}rica y num\IeC {\'e}rica.\relax }}{6}{table.caption.9}}
\newlabel{tab:tabla1}{{1}{6}{Comparación entre cargas críticas teórica y numérica.\relax }{table.caption.9}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {4}Placa simplemente apoyada en 4 bordes}{6}{section.4}}
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {1}{\ignorespaces Comparaci\IeC {\'o}n entre cargas cr\IeC {\'\i }ticas te\IeC {\'o}rica y num\IeC {\'e}rica.\relax }}{5}{table.caption.8}}
\newlabel{tab:tabla1}{{1}{5}{Comparación entre cargas críticas teórica y numérica.\relax }{table.caption.8}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {4}Placa simplemente apoyada en 4 bordes}{5}{section.4}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {8}{\ignorespaces Placa simplemente apoyada.\relax }}{5}{figure.caption.9}}
\newlabel{fig:placaSA}{{8}{5}{Placa simplemente apoyada.\relax }{figure.caption.9}{}}
\@LN@col{2}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {9}{\ignorespaces Placa simplemente apoyada.\relax }}{6}{figure.caption.10}}
\newlabel{fig:placaSA}{{9}{6}{Placa simplemente apoyada.\relax }{figure.caption.10}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Carga cr\IeC {\'\i }tica}{6}{subsection.4.1}}
\BKM@entry{id=12,dest={73756273656374696F6E2E342E32},srcline={601}}{4D6F64656C6F20636F6E20656D70617272696C6C61646F}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Carga cr\IeC {\'\i }tica}{5}{subsection.4.1}}
\BKM@entry{id=11,dest={73756273656374696F6E2E342E32},srcline={607}}{4D6F64656C6F20636F6E20656D70617272696C6C61646F}
\citation{ONSAS}
\citation{jurgen}
\@LN@col{1}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Modelo con emparrillado}{7}{subsection.4.2}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Modelo con emparrillado}{6}{subsection.4.2}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {9}{\ignorespaces Geometr\IeC {\'\i }a indeformada.\relax }}{6}{figure.caption.10}}
\newlabel{fig:indeformadaSA}{{9}{6}{Geometría indeformada.\relax }{figure.caption.10}{}}
\@LN@col{2}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {10}{\ignorespaces Geometr\IeC {\'\i }a indeformada.\relax }}{7}{figure.caption.11}}
\newlabel{fig:indeformadaSA}{{10}{7}{Geometría indeformada.\relax }{figure.caption.11}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {11}{\ignorespaces Desplazamiento lateral $w$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{7}{figure.caption.12}}
\newlabel{fig:lateralSA}{{11}{7}{Desplazamiento lateral $w$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.12}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {12}{\ignorespaces Desplazamiento longitudinal $u$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{7}{figure.caption.13}}
\newlabel{fig:edgeSA}{{12}{7}{Desplazamiento longitudinal $u$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.13}{}}
\citation{jurgen}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {10}{\ignorespaces Desplazamiento lateral $w$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{6}{figure.caption.11}}
\newlabel{fig:lateralSA}{{10}{6}{Desplazamiento lateral $w$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.11}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {11}{\ignorespaces Desplazamiento longitudinal $u$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{6}{figure.caption.12}}
\newlabel{fig:edgeSA}{{11}{6}{Desplazamiento longitudinal $u$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.12}{}}
\citation{hambly}
\BKM@entry{id=13,dest={73656374696F6E2E35},srcline={675}}{436F6E636C7573696F6E657320792066757475726F732074726162616A6F73}
\BKM@entry{id=12,dest={73656374696F6E2E35},srcline={681}}{436F6E636C7573696F6E657320792066757475726F732074726162616A6F73}
\@LN@col{1}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {13}{\ignorespaces Deformada de la placa.\relax }}{8}{figure.caption.14}}
\newlabel{fig:deformadaSA}{{13}{8}{Deformada de la placa.\relax }{figure.caption.14}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {12}{\ignorespaces Deformada de la placa.\relax }}{7}{figure.caption.13}}
\newlabel{fig:deformadaSA}{{12}{7}{Deformada de la placa.\relax }{figure.caption.13}{}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {13}{\ignorespaces Desplazamiento longitudinal $u$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{7}{figure.caption.14}}
\newlabel{fig:edgeSA_v3}{{13}{7}{Desplazamiento longitudinal $u$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.14}{}}
\@LN@col{2}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {14}{\ignorespaces Desplazamiento longitudinal $u$ en funci\IeC {\'o}n de la carga.\relax }}{8}{figure.caption.15}}
\newlabel{fig:edgeSA_v3}{{14}{8}{Desplazamiento longitudinal $u$ en función de la carga.\relax }{figure.caption.15}{}}
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {2}{\ignorespaces Comparaci\IeC {\'o}n entre cargas cr\IeC {\'\i }ticas te\IeC {\'o}rica y num\IeC {\'e}rica para ambos modelos.\relax }}{8}{table.caption.16}}
\newlabel{tab:tabla2}{{2}{8}{Comparación entre cargas críticas teórica y numérica para ambos modelos.\relax }{table.caption.16}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {5}Conclusiones y futuros trabajos}{8}{section.5}}
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {2}{\ignorespaces Comparaci\IeC {\'o}n entre cargas cr\IeC {\'\i }ticas te\IeC {\'o}rica y num\IeC {\'e}rica para ambos modelos.\relax }}{7}{table.caption.15}}
\newlabel{tab:tabla2}{{2}{7}{Comparación entre cargas críticas teórica y numérica para ambos modelos.\relax }{table.caption.15}{}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {5}Conclusiones y futuros trabajos}{7}{section.5}}
\bibstyle{apalike}
\bibdata{bibs/bib_informe}
\bibcite{bathe}{Bathe, 1996}
......@@ -140,6 +129,7 @@
\bibcite{timoshenko2}{Timoshenko and Woinowsky-Krieger, 1987}
\bibcite{timoshenko1}{Timoshenko and Gere, 1985}
\bibcite{yoo2011}{Yoo and Lee, 2011}
\gdef\svg@ink@ver@settings{{\m@ne }{inkscape}{\m@ne }}
\@LN@col{1}
\@LN@col{2}
\gdef\svg@ink@ver@settings{{\m@ne }{inkscape}{\m@ne }}
This diff is collapsed.
No preview for this file type
......@@ -53,6 +53,7 @@
\usepackage{url}
\graphicspath{{figs/}}
\usepackage{svg}
\usepackage{verbatim}
% -------------------------
......@@ -63,13 +64,13 @@
\renewcommand{\tableautorefname}{Cuadro}
\begin{center}
{ \LARGE{Estudio analítico y numérico de placas rectangulares finas con grandes desplazamientos } }\\
{ \LARGE{Estudio numérico de placas rectangulares finas con grandes desplazamientos } }\\
{\large{Joaquín Viera Sosa} }
\end{center}
\section{Introducción}\label{grupo1}
El presente trabajo tiene como objetivo presentar un análisis no lineal geométrico de placas rectangulares finas con grandes desplazamientos. Se realizará un abordaje analítico utilizando el Principio de Mínima Energía Potencial Total (PMEPT) \cite{notasANLE} con el cual se obtendrán las cargas críticas para placas con diferentes condiciones de borde sometidas a una carga de compresión uniforme. En este trabajo, se presenta además el análisis post-crítico de una placa con condiciones de borde similares a la columna de Euler mediante el PMEPT. Posteriormente para las placas estudiadas se realiza un modelo numérico en ONSAS \cite{ONSAS}, donde se busca reproducir mediante un emparrillado de elementos de viga 3D no lineal co-rotacional el comportamiento previsto.\\
El presente trabajo tiene como objetivo presentar un análisis no lineal geométrico de placas rectangulares finas con grandes desplazamientos. Se realizará un abordaje analítico utilizando el Principio de Mínima Energía Potencial Total (PMEPT) \cite{notasANLE} con el cual se obtendrán las cargas críticas para placas con diferentes condiciones de borde sometidas a una carga de compresión uniforme. Posteriormente para las placas estudiadas se realiza un modelo numérico en ONSAS \cite{ONSAS}, donde se busca reproducir mediante un emparrillado de elementos de viga 3D no lineal co-rotacional el comportamiento previsto.\\
Los códigos utilizados en este informe pueden verse en el repositorio público:\\
......@@ -81,7 +82,7 @@ En los códigos utilizados deberá modificarse el directorio de donde se encuent
\section{Energía Potencial total}
\subsection{Energía Potencial de placas rectangulares finas}
\subsection{Energía de deformación de placas rectangulares finas}
Se consideran placas finas aquellas cuyo espesor $h$ es mucho menor que el resto de las dimensiones de la placa, siendo aceptable considerar que esto se cumple para relaciones $h/l$<0.1, donde $l$ es cualquiera de las otras dos dimensiones. Además, se considerará que la sección de las placas es uniforme y que el material que la compone es homogéneo. Por otro lado, se considerará en el análisis que las placas se encuentran en su rango elástico. \\
Se postulan las hipótesis cinemáticas sobre el campo de desplazamientos que se utlizan en la teoría de placas finas, conocidas como hipótesis de Kirchhoff \cite{yoo2011}:
......@@ -97,7 +98,7 @@ De esta forma, el tensor de deformaciones $G$ y de tensiones resultan $T$:
G=\begin{pmatrix}
\varepsilon_x & \frac{\gamma_{xy}}{2} \\
\frac{\gamma_{xy}}{2} & \varepsilon_{y}
\end{pmatrix}\;\;
\end{pmatrix},\;\;
T= \begin{pmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} \\
\tau_{xy} & \sigma_{y}
......@@ -142,10 +143,10 @@ Por lo tanto, las deformaciones $\bar{\varepsilon_x}$, $\bar{\varepsilon_y}$ y $
\bar{\varepsilon_y}=\frac{\partial \bar{v}}{\partial y} = \varepsilon_y -z\frac{\partial^2 \bar{w}}{\partial y^2} = \varepsilon_y + zk_{22} \\
\\
\bar{\gamma_{xy}}=\frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \frac{\partial \bar{v}}{\partial x} + \frac{\partial^2 \bar{w}}{\partial x\partial y}= \gamma_{xy} -2z\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y} \\
\bar{\gamma_{xy}}= \gamma_{xy} + 2zk_{12}
\bar{\gamma_{xy}}= \gamma_{xy} + 2zk_{12},
\end{array}
\end{eqnarray}
Donde los términos $k_{11}$, $k_{22}$ y $k_{12}$ refieren a las curvaturas de la placa. Utilizando la relación constitutiva y llamando a $E$ y $\mu$ al módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson respectivamente, las tensiones $\bar{\sigma_{x}}$, $\bar{\sigma_{x}}$ y $\bar{\tau_{xy}}$ resultan:
donde los términos $k_{11}$, $k_{22}$ y $k_{12}$ refieren a las curvaturas de la placa. Utilizando la relación constitutiva y llamando a $E$ y $\mu$ al módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson respectivamente, las tensiones $\bar{\sigma_{x}}$, $\bar{\sigma_{x}}$ y $\bar{\tau_{xy}}$ resultan:
\begin{eqnarray}
\begin{array}{c}
......@@ -157,9 +158,9 @@ Donde los términos $k_{11}$, $k_{22}$ y $k_{12}$ refieren a las curvaturas de l
La energía de deformación interna $U$, siendo $V$ el volumen de la placa es:
\begin{equation}
\dfrac{1}{2}\int_V \bar{\sigma}^T\bar{\varepsilon}dV
\dfrac{1}{2}\int_V \bar{\sigma}^T:\bar{\varepsilon}dV
\end{equation}
Expresando las tensiones y las deformaciones utilizando la notación de Voigt $\bar{\sigma}=(\bar{\sigma_x}, \bar{\sigma_y}, \bar{\tau_{xy}})$ y $\bar{\varepsilon}=(\bar{\varepsilon_x}, \bar{\varepsilon_y}, \bar{\gamma_{xy}})$ y operando resulta:
Operando resulta:
\begin{equation}
U=\dfrac{E}{2(1-\mu^2)}\int_V \bar{\varepsilon_x}^2+\bar{\varepsilon_y}^2+2\mu\bar{\varepsilon_x}\bar{\varepsilon_y} + \dfrac{(1-\mu)}{2}\bar{\gamma_{xy}}^2 dV
......@@ -169,13 +170,13 @@ Sustituyendo las expresiones de las deformaciones (\autoref{eq:8}) se puede nota
\begin{array}{c}
U_m = \dfrac{C}{2}\int_A \varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2+2\mu\varepsilon_x\varepsilon_y +\dfrac{(1-\mu)}{2}\gamma_{xy}^2 dA \\
\\
U_b = \dfrac{D}{2}\int_A k_{11}^2+k_{22}^2+2\mu k_{12}+\dfrac{(1-\mu)}{2}4k_{12}^2 dA
U_b = \dfrac{D}{2}\int_A k_{11}^2+k_{22}^2+2\mu k_{12}+\dfrac{(1-\mu)}{2}4k_{12}^2 dA,
\end{array}
\end{eqnarray}
Donde se introducen las constantes $C$ y $D$ que reflejan la rigidez axial y flexional de la placa:
donde se introducen las constantes $C$ y $D$ que reflejan la rigidez axial y flexional de la placa:
\begin{eqnarray}
C\equiv\dfrac{Eh}{1-\mu^2} \;\;\;\; D\equiv\dfrac{Eh^3}{12(1-\mu^2)}
C\equiv\dfrac{Eh}{1-\mu^2}, \;\;\;\; D\equiv\dfrac{Eh^3}{12(1-\mu^2)}
\end{eqnarray}
\subsection{Trabajo externo de las fuerzas}\label{subsec:Wext}
......@@ -280,6 +281,7 @@ Resultando la carga crítica de la placa $N_{cr}$:
Se observa que la misma tiene forma análoga a la carga crítica de la columna de Euler $N_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{a^2}$.
\begin{comment}
\subsection{Análisis post-crítico}\label{subsec:postEuler}
Como se mencionó en la \autoref{subsec:total} se debe calcular la componente de la energía de deformación membranal $U_m$. Para esto es necesario proponer además de la función $w$ otras funciones $u$ y $v$ que cumplan con las condiciones de borde de la placa. Se propondrá una función de desplazamiento para $u$ y dado que la placa se encuentra restringida según el eje $y$ se tiene que $v=0$. La función $u$ propuesta es:
......@@ -426,8 +428,14 @@ En la \autoref{fig:Nw} se tiene la gráfica $N_x-w_0$ para desplazamientos $w_0$
\end{center}
\end{figure}
\end{comment}
\subsection{Modelo con emparrillado}
Se realiza en ONSAS \cite{ONSAS} el modelo de la placa con un emparrillado de vigas. Se utilizan seis columnas y once vigas. Los parámetros geométricos y de rigidez son $E=30$ GPa, $a=5$ m, $b=1$ m y $h=0.10$ m. La cantidad de vigas y de columnas fue escogida según recomendaciones de \cite{hambly}. Además, se verificó que en un análisis lineal el emparrillado presentara el mism desplazamiento que una placa sometida a una carga uniformemente distribuida. Se modela la columna con una imperfección inicial en los nodos del extremo cargado, equivalente a un momento flector de valor $P/400$, siendo $P=-1$ kN la carga axial aplicada en los nodos de las columnas. Se utiliza el método de Newton-Raphson incremental, con setenta pasos de carga y con incrementos de carga de múltiplos de quince. De esta forma, la carga final sobre la estructura será $N_x=1050$ kN. En cada paso del método, se incrementa la carga $P$ y la imperfección en la misma proporción. Se utilizan como criterios de parada del método, diez iteraciones por cada paso y $1\cdot10^{-6}$ para la convergencia de desplazamientos y de fuerzas. La geometría indeformada de la placa se puede observar en la \autoref{fig:indeformadaEuler}.
Se realiza en ONSAS \cite{ONSAS} el modelo de la placa con un emparrillado de vigas. Se utilizan seis columnas y once vigas. Los parámetros geométricos y de rigidez son $E=30$ GPa, $a=5$ m, $b=1$ m y $h=0.10$ m. La cantidad de vigas y de columnas fue escogida según recomendaciones de \cite{hambly}. Entre estas recomendaciones se tiene que la separación de columnas se encuentre entre dos y tres veces el espesor de la placa como mínimo y como máximo separadas 1/4 de la luz. La separación de vigas transversales no puede exceder 1/4 de la luz mayor de la placa y debe ser similar a la separación de las columnas. Además de las reocmendaciones anteriores, se verificó que en un análisis lineal el emparrillado presentara el mismo desplazamiento que una placa sometida a una carga uniformemente distribuida. \\
Se modela la columna con una imperfección inicial en los nodos del extremo cargado, equivalente a un momento flector de valor $P/400$, siendo $P=-1$ kN la carga axial aplicada en los nodos de las columnas. Se utiliza el método de Newton-Raphson incremental, con setenta pasos de carga y con incrementos de carga de múltiplos de quince. De esta forma, la carga final sobre la estructura será $N_x=1050$ kN. En cada paso del método, se incrementa la carga $P$ y la imperfección en la misma proporción. Se utilizan como criterios de parada del método, diez iteraciones por cada paso y $1\cdot10^{-6}$ para la convergencia de desplazamientos y de fuerzas. La geometría indeformada de la placa se puede observar en la \autoref{fig:indeformadaEuler}.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
......@@ -472,8 +480,6 @@ Se observa en la \autoref{fig:edgeEuler} una pérdida de rigidez axial luego de
\end{array}
\end{equation}
Se donde se observa que este valor es mucho menor a $1/3$, el cual fue encontrado en la \autoref{subsec:postEuler}. \\
En la \autoref{fig:deformadaEuler} se muestra la geometría deformada de la placa para el último paso de carga. En gris se observa la geometría del emparrillado en su configuración inicial.
\begin{figure}[H]
......@@ -484,7 +490,7 @@ En la \autoref{fig:deformadaEuler} se muestra la geometría deformada de la plac
\end{center}
\end{figure}
Dado que se modeló en ONSAS el emparrillado con Newton-Raphson y con una imperfección inicial, no se puede obtener de forma directa la carga crítica. Como se observó anteriormente, la pérdida de rigidez axial del emparrillado es mucho más inmediata que la pérdida de rigidez que se observa para el desplazamiento lateral. En base a este hecho, se tomó como criterio encontrar la carga crítica del modelo utilizando el cociente entre desplazamientos longitudinales normalizados con el incremento de carga en cada paso. Este cociente luego se lo comparó con un factor de 0.15. En la \autoref{tab:tabla1} se presentan los valores de carga crítica teórico ($N_{cr,t}$) y numérico ($N_{cr,n}$).
Dado que se modeló en ONSAS el emparrillado con Newton-Raphson y con una imperfección inicial, no se puede obtener de forma directa la carga crítica. Como se observó anteriormente, la pérdida de rigidez axial del emparrillado es mucho más inmediata que la pérdida de rigidez que se observa para el desplazamiento lateral. En base a este hecho, se tomó como criterio encontrar la carga crítica del modelo utilizando el cociente entre desplazamientos longitudinales normalizados con el incremento de carga en cada paso. Este cociente luego se lo comparó con un factor de 0.15. En la \autoref{tab:tabla1} se presentan los valores de carga crítica teórico ($N_{cr,t}$) y numérico ($N_{cr,n}$). Se podría haber calculado la carga crítica también utilizando el método gráfico Southwell plot.
\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
......@@ -514,8 +520,8 @@ Las condiciones de borde en término de los desplazamientos en los apoyos se ind
\begin{equation}
\begin{array}{c}
w(x,0) = w(x,b) = w(0,y) = w(a,y) = 0 \\
u(0,y) = 0 \\
w(x,0) = w(x,b) = w(0,y) = w(a,y) = 0, \\
u(0,y) = 0, \\
v(0,y) = 0
\end{array}
\end{equation}
......@@ -526,7 +532,7 @@ La placa se encuentra sometida a una carga de compresión uniforme en el borde $
Se propone una deformada $w(x,y)$ que cumpla con las condiciones de borde:
\begin{equation}
w(x,y) = Asen\left(\dfrac{m\pi x}{a}\right)\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)
w(x,y) = Asen\left(\dfrac{m\pi x}{a}\right)sen\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right)
\end{equation}
Donde $m$ y $n$, son números naturales que cumplen $m>0$, $n>0$ y que reflejan la cantidad de ondas que puede tener la deformada de la placa como se plantea en \cite{timoshenko1}.\\
......@@ -554,9 +560,9 @@ La energía de deformación flexional $U_b$ resulta:
El trabajo de las fuerzas externas resulta:
\begin{equation}
W = -\dfrac{1}{2}\int_A N_x\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2 dA = \dfrac{ab}{8}N_xA^2\dfrac{m^2\pi^2}{a^2}
W = -\dfrac{1}{2}\int_A N_x\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2 dA = \dfrac{ab}{8}N_xA^2\dfrac{m^2\pi^2}{a^2},
\end{equation}
Donde se utilizó que la carga $N_x$ es negativa si es de compresión. La energía potencial total $\Pi$ resulta:
donde se utilizó que la carga $N_x$ es negativa si es de compresión. La energía potencial total $\Pi$ resulta:
\begin{equation}
\Pi = \dfrac{ab}{8}DA^2\pi^4\left[
\dfrac{m^2}{a^2} + \dfrac{n^2}{b^2}
......@@ -633,7 +639,7 @@ Se observa en la \autoref{fig:edgeSA} una pérdida de rigidez axial luego de alc
\dfrac{K_{post}}{K_{pre}} \approx 0.335
\end{equation}
Se donde se observa que este valor es similar al obtenido $1/3$, el cual fue encontrado en la \autoref{subsec:postEuler}. Además, este valor es similar al que se menciona en \cite{jurgen}. \\
De donde se observa que este valor es similar al que se menciona en \cite{jurgen}. \\
En la \autoref{fig:deformadaSA} se muestra la geometría deformada de la placa para el último paso de carga.
......@@ -673,7 +679,7 @@ De forma análoga, la carga crítica se da para el factor de carga $\lambda=$36,
%
\section{Conclusiones y futuros trabajos}
Se ha podido comprobar mediante los modelos realizados que es posible modelar placas finas utilizando un emparrillado compuesto por elementos de viga 3D no lineal co-rotacional. En particular se ha podido apreciar en el caso de la placa con dos bordes simplemente apoyados y dos bordes libres un comportamiento cualitativamente similar en los gráficos $N_x-w_0$ y $N_x-u_0$ a los de la columna de Euler, además de presentar una carga crítica cercana a la teórica. Para este caso de placa, se presentó el cálculo analítico post-crítico mediante dos funciones propuestas aproximadas. obteniendo el comportamiento cualitativo previsto. \\
Se ha podido comprobar mediante los modelos realizados que es posible modelar placas finas utilizando un emparrillado compuesto por elementos de viga 3D no lineal co-rotacional. En particular se ha podido apreciar en el caso de la placa con dos bordes simplemente apoyados y dos bordes libres un comportamiento cualitativamente similar en los gráficos $N_x-w_0$ y $N_x-u_0$ a los de la columna de Euler, además de presentar una carga crítica cercana a la teórica. \\
En cuanto a la placa simplemente apoyada, se logró obtener el comportamiento teórico previsto mediante el modelado con el emparrillado de vigas. Para este caso, dado que la placa presenta curvatura en ambos sentidos, es necesario realizar una buena estimación de la rigidez a torsión de los elementos que componen el emparrillado, observándose este hecho en particular en el \autoref{tab:tabla2}. \\
......
Informe/figs/indeformadaSA.png

70.6 KB | W: | H:

Informe/figs/indeformadaSA.png

126 KB | W: | H:

Informe/figs/indeformadaSA.png
Informe/figs/indeformadaSA.png
Informe/figs/indeformadaSA.png
Informe/figs/indeformadaSA.png
  • 2-up
  • Swipe
  • Onion skin
Markdown is supported
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment